I frattali e la popolazione italiana: quando Dio non gioca a dadi.
Cosa c’entrano i frattali di Mandelbrot con la popolazione dei comuni italiani? E cosa c’entra la popolazione dei comuni italiani con il mercato valutario? La risposta è data da una semplice legge a potenza, chiamata Legge di Zipf. Dimostriamo con una breve analisi come tutti possano applicarla senza troppi sforzi: basta un software adatto (SPSS, R o Matlab), un po’ di conoscenza statistica e matematica, molta curiosità ed il gioco è fatto. Beh, più o meno…
Premessa
Mostriamo l’evoluzione dinamica della legge di Zipf generalizzata applicata ai comuni italiani (oltre 8000). Prendendo spunto dal lavoro di G.Graziola, D.Facchinetti ed S.A.Osmetti, raccogliendo i dati forniti dall’Istat e dal sito “Comuni Italiani“, abbiamo calcolato l’andamento della distribuzione log-log tra frequenza e popolazione, in funzione dell’intervallo di grandezza dei comuni. Abbiamo scelto 12 intervalli, da 10 abitanti sino a 500 mila. Si nota come l’anomalia dei comuni molto popolati (limite destro dell’asse delle ascisse) nei range bassi si normalizzi linearmente al crescere di quest’ultimo.
A chiunque abbia studiato o lavorato nel campo economico-statistico non suoneranno nuovi questi due nomi: G.Zipf e B. Mandelbrot. A cavallo della seconda guerra mondiale Zipf applicò la teoria delle power law o leggi di potenza al campo socio-economico, dimostrando analiticamente come i comportamenti umani, siano essi di natura finanziaria o di natura sociale, possano essere razionalizzati entro certi margini di errore e verosimiglianza. Non intendiamo in questa sede rendere troppo tecnico il discorso; basti solo sapere che la teoria di Zipf è alla base di una teoria ben più famosa, quella dei FRATTALI, resa celebre da B.Mandelbrot.
Nella teoria frattale, divulgata ai giorni nostri da splendide raffigurazioni artificiali computerizzate, in realtà c’è più “natura” di quanto si possa immaginare: la ripetizione di una struttura, la cui complessità e definizione aumentano al diminuire della scala di osservazione, sono elementi comuni nel mondo naturale. Famosi sono i profili delle foglie oppure la forma dei confini di una nazione (Mandelbrot infatti rese celebre la lunghezza della costa della Gran Bretagna). Gli economisti, sempre molto attenti all’applicazione pratica di una teoria matematicamente complessa, hanno iniziato a sfruttare questa teoria nella finanza ad alta frequenza, sia nel mercato dei derivati (più raramente in quelli esotici), futures, FX market, etc..
Noi però siamo più interessati alla demografia dei comuni italiani, alla loro evoluzione secondo la legge di Zipf, alla struttura frattale che la descrive, come mostrato molto più approfonditamente da G.Graziola, D.Facchinetti ed S.A.Osmetti.
In questo lavoro, tuttavia, non si mostra un grafico statitico, come di solito avviene nelle analisi di power law, ma la sua struttura dinamica, la sua evoluzione, la sua velocità in termini più fisici.
Come dobbiamo leggere questi grafici in sequenza?
1) Considerate la popolazione di tutti gli oltre 8 mila comuni italiani (da Roma con i suoi 2546804 a Morterone, provincia di Lecco, con i suoi 33 abitanti)
2) Suddividete la popolazione dei comuni italiani in vari intervalli, arbitrari. Più piccolo sarà l’intervallo, maggiori saranno le fasce in cui suddividerete l’intera sequenza di comuni
3) Calcolate il numero di comuni in ogni fascia, in funzione dell’intervallo scelto.
(per continuare la lettura cliccare su “2”)
4) In un grafico logaritmico, sulle ascisse (X) il log della popolazione, sulle ordinate (Y) il log delle frequenze osservate
5) Ripetete da 2) a 4) cambiando l’intervallo.
6) La gobba di destra (comuni molto grandi) scompare gradatamente e si allinea all’ipotetica retta, ben tracciata dai comuni più piccoli e meglio distribuiti sul suolo italiano. Ogni nazione ha un profilo di Zipf unico, con elementi di correlazione, tuttavia.
Il risultato per l’Italia è mostrato dal grafico seguente
L’idea della legge di Zipf è quindi quella di mostrare come in una scala logaritmica alcuni eventi si distribuiscano linearmente, perché derivano da una legge di potenza. Se questo avviene, allora siamo di fronte ad una potenziale struttura frattale. Altre analisi più sofisticate sono richieste per accertare la frattalità.
La dimensione dei comuni, come alcuni effetti dei terremoti, lo scambio di valute tra due paesi stranieri, per citare solo alcuni casi, seguono la stessa legge.
Se pensate che tutto questo sia soltanto un’interessante esercizio di matematica da affidare agli studenti del primo anno di università, ma nulla di piu, sappiate che alcuni investitori, applicando questa innocua teoria, ricavano milioni di dollari ogni mese.